Niestandardowe teorie przestrzeni

Niestandardowe teorie przestrzeni traktują o systemach geometrii i topologii, w których pierwotne pojęcie punktu zastąpione jest przez pojęcie regionu. Wyrażając się w terminach obiektów, teorie niestandardowe – zwyczajowo określane mianem bezpunktowych – zobowiązują się do istnienia regionów jako elementów ich dziedzin, punkty przenoszą na poziom zbiorów. Ambicją autora było omówić filozoficzne założenia takich teorii, zaprezentować logiczno-matematyczny aparat leżący u ich podstaw i przeanalizować systemy autorstwa Hendrika de Vriesa, Petera Repera oraz Andrzeja Grzegorczyka. 

Spis rysunków / 8
Przedmowa / 9
Podziękowania / 14

1. Ontologia teorii przestrzeni / 15
1.1. Geometria elementarna / 15
1.2. Geometria w raju Cantora / 16
1.3. Pojecie regionu jako pojecie pierwotne geometrii / 19
1.3.1. Mereologia / 20
1.3.2. Półpłaszczyzny i geometria afiniczna / 22
1.3.3. Kule i geometria euklidesowa / 27
1.4. Pojecie regionu jako pojecie pierwotne topologii / 31
1.4.1. Algebry Boole’a i przestrzenie Stone’a / 35
1.4.2. Frejmy / 37
1.4.3. Definicje punktu w strukturach konektywnych / 40

2. Mereologia Grzegorczyka / 45
2.1. Zbiory częściowo uporządkowane / 46
2.2. Relacja sumy mereologicznej / 47
2.3. Struktury mereologiczne Grzegorczyka / 48
2.4. Suma mereologiczna a supremum zbioru regionów / 50
2.5. Operacja sumy mereologicznej / 51
2.6. Operacja dopełnienia mereologicznego / 52
2.7. Operacja iloczynu mereologicznego / 54
2.7.1. Związki między suma, dopełnieniem i iloczynem / 57
2.8. Atomy w strukturach mereologicznych Grzegorczyka / 59
2.9. Struktury zupełne / 60
2.10. Związki z algebrami Boole’a / 62
2.11. Filtry w strukturach klasy GM / 64
2.12. Filtry wolne w strukturach atomowych / 68
2.13. Mereomorfizmy i podstruktury mereologiczne / 72
2.14. Uzupełnienia struktur klasy GM / 77

3. Struktury konektywne / 84
3.1. Określenie i podstawowe własności / 84
3.2. Relacja niestycznego zawierania 87
3.3. Zbiory zwężające i relacja połączenia dla zbiorów / 92
3.4. Filtry zwezające / 93
3.5. C-zanurzenia i uzupełnienia struktur konektywnych / 96
3.6. Atomy w strukturach konektywnych / 98
3.7. Zagadnienie spójnosci przestrzeni topologicznych / 100

4. Struktury de Vriesa / 103
4.1. Okreslenie i podstawowe własnosci / 103
4.2. Topologia w zbiorze MCF / 106
4.2.1. Topologiczna charakterystyka relacji połaczenia / 109
4.3. Twierdzenia o reprezentacji / 112
4.3.1. Dualność dla zwartych przestrzeni Hausdorffa / 113
4.4. Filtry zwężające a zbiory domknięte / 117

5. Struktury Roepera / 121
5.1. Określenie i podstawowe własności / 121
5.2. Relacja połączenia w zbiorze filtrów / 125
5.3. Filtry zwężające w strukturach Roepera / 128
5.4. Topologia w zbiorze MCF` / 132
5.4.1. Własnosci przestrzeni hMCF`,Oi  / 134
5.5. Twierdzenia o reprezentacji / 138
5.5.1. Dualność dla przestrzeni lokalnie zwartych / 140
5.6. Struktury Roepera a struktury de Vriesa / 143

6. Struktury Grzegorczyka / 145
6.1. Reprezentanci punktów / 145
6.2. Struktury konektywne Grzegorczyka / 147
6.3. Punkty w strukturach Grzegorczyka  /149
6.4. Atomy w strukturach Grzegorczyka / 151
6.4.1. Ultrafiltry a punkty Grzegorczyka / 152
6.4.2. Filtry wolne a punkty w strukturach atomowych / 154
6.4.3. Filtry wolne a punkty w strukturach nieatomowych / 157
6.5. Topologia w zbiorze GF / 158
6.5.1. Własnosci przestrzeni hGF,Oi / 160
6.6. Twierdzenia o reprezentacji / 163
6.7. GF a punkty w przestrzeniach Euklidesowych / 165
6.7.1. GF a punkty Roepera w przestrzeniach euklidesowych / 168

A. Elementy topologii / 171
A.1. Podstawowe definicje / 171
A.2. Operacje wnetrza i domkniecia / 173
A.3. Funkcje ciagłe i homeomorfizmy / 174
A.4. Aksjomaty oddzielania / 176
A.4.1. Przestrzenie regularne i normalne / 178
A.5. Podprzestrzenie przestrzeni topologicznych / 179
A.6. Przestrzenie zwarte i lokalnie zwarte / 180
A.6.1. Definicja i podstawowe własnosci przestrzeni zwartych / 180
A.6.2. Przestrzenie dyskretne i ich uzwarcenia / 186
A.6.3. Przestrzenie lokalnie zwarte / 187
A.7. Zbiory regularnie otwarte i regularnie domkniete / 188
A.7.1. Zwiazki z algebrami Boole’a i strukturami mereologicznymi / 192
A.7.2. Dziedziny otwarte w przestrzeniach regularnych i normalnych / 193
A.7.3. Dziedziny otwarte w przestrzeniach lokalnie zwartych / 195
A.8. Przestrzenie koncentryczne / 197

Literatura / 199
Skorowidz symboli / 205
Skorowidz nazwisk i terminów / 209

Rafał Gruszczyński