Korelacje nieklasyczne. Kwantowe splątanie i dyskord

Od końca lat osiemdziesiątych XX wieku wiadomo, że w przełomowych zastosowaniach informatyki kwantowej zmierzających do zbudowania komputera kwantowego, kluczową role odgrywają korelacji nieklasyczne pomiędzy mikroskopowymi obiektami. Korelacji te dopiero uczymy się klasyfikować i mierzyć. W niniejszej książce omówiono sposoby wykrywania i ilościowej oceny jednego z podstawowych przejawów skorelowania pomiędzy układami – splątania. Przedstawiono także miary korelacji  wraz z różnymi sposobami ich definiowania, wyznaczania i oszacowania, ze szczególnych uwypukleniem roli kwantowego dyskordu opartego na teorio-informacyjnej roli entropii. 

Wstęp / 7
 
Rozdział 1. Elementy formalizmu matematycznego / 11
1.1. Przestrzeń Hilberta układu złożonego / 11
1.1.1. Reprezentacja Fano-Blocha stanów układu dwóch kubitów i jej uogólnienia / 13
1.1.2. Pomiar von Neumanna i jego uogólnienia / 15
1.2. Informacja i entropia / 16
1.3. Entropie Shannona i von Neumanna / 17
1.3.1. Entropia Shannona i wielkości pokrewne / 17
1.3.2. Entropia von Neumanna i wielkości pokrewne / 21
1.4. Uogólnione funkcje entropowe / 25
1.4.1. Entropia Tsallisa i wielkości pokrewne / 26
1.5. Odwzorowania dodatnie / 28
1.5.1. Klasy odwzorowań dodatnich / 28
Odwzorowanie redukcji i jego uogólnienia / 29
Odwzorowanie Choi i jego uogólnienia / 30
Inne przykłady / 31
1.5.2. Izomorfizm Choi-Jamiołkowskiego / 31
1.6. Zakres numeryczny operatora / 33
1.6.1. Lokalny zakres numeryczny dla operatora samosprzężonego / 34
1.6.2. Lokalny zakres numeryczny dla operatora cyklicznego / 35
1.6.3. Lokalny zakres numeryczny operatora cyklicznego dla d = 2 / 42
 
Rozdział 2. Korelacje w układach fizycznych / 47
2.1. Korelacje nieklasyczne / 49
2.2. Korelacje nielokalne i nierówności Bella / 51
2.2.1. EPR-sterowalność / 54
2.3. Geometryczne miary korelacji / 55
2.3.1. Przegląd geometrycznych miar korelacji / 57
2.4. Entropowe miary korelacji / 58
2.4.1. Kwantowy dyskord i wielkości pokrewne / 58
2.4.2. Utrata informacji przy pomiarze / 61
2.5. Dynamika korelacji / 64
 
Rozdział 3. Splątanie / 67
3.1. Separowalność i splątanie / 68
3.1.1. Stany czyste / 68
3.1.2. Stany mieszane / 69
3.1.3. Jednoznaczność rozkładu stanu separowalnego / 70
3.1.4. Stany PPT / 71
3.1.5. Destylacja splątania i splątanie związane / 72
3.2. Ogólne metody wykrywania splątania / 73
3.2.1. Uogólniony rozkład Schmidta / 74
3.2.2. Nieuporządkowanie stanów. Kryteria majoryzacji i entropowe / 75
3.2.3. Wykorzystanie funkcji entropowych / 76
3.2.4. Permutacje elementów macierzowych. Kryterium Peresa-Horodeckiego i reorganizacji / 79
3.2.5. Uogólnienia kryterium reorganizacji / 81
3.2.6. Kryterium obrazu / 82
3.2.7. Kryterium oparte na odwzorowaniach dodatnich / 86
3.2.8. Wykrywanie splątania przy pomocy świadków / 86
3.2.9. Kryterium redukcji i jego uogólnienia / 89
3.2.10. Kryteria oparte o macierz kowariancji / 91
3.3. Badanie splątania szczególnych rodzin stanów / 94
3.3.1. Stany niezmiennicze ze względu na lokalne operacje unitarne / 94
Stany Wernera / 95
Stany izotropowe / 97
Stany ortogonalnie niezmiennicze / 99
Stany TT-niezmiennicze / 101
3.3.2. Splątane stany PPT / 103
3.3.3. Stany SPPT / 104
Konstrukcja klasy stanów PPT układu 2 ⊗ d / 104
Rodzina stanów SPPT układu 2 ⊗ d / 106
Konstrukcja stanów SPPT układu dA ⊗ dB / 109
Własności stanów SPPT / 111
3.3.4. Stany cykliczne / 117
3.4. Miary splątania / 121
3.4.1. Operacje LOCC / 122
3.4.2. Miary splątania oparte o protokoły LOCC / 124
3.4.3. Aksjomatyczna definicja miar splątania / 125
3.4.4. Przegląd rożnych miar splątania / 128
Entropia splątania / 129
Zgodność / 132
Ujemność i logarytmiczna ujemność / 136
3.4.5.   Miary oparte na odległości od zbioru stanów kwantowych / 138
Względna entropia splątania / 140
Geometryczna miara splątania / 141
3.5.  Oszacowania zgodności / 143
3.5.1. Oszacowania algebraiczne / 145
3.5.2. Oszacowania przy użyciu norm / 147
3.5.3. Oszacowania z wykorzystaniem świadków splątania / 149
3.5.4. Oszacowania z wykorzystaniem przekształceń dodatnich / 155
3.6. Dynamika splątania / 157
 
Rozdział 4. Kwantowy dysk ord / 161
4.1. Własności kwantowego dyskordu / 163
4.2. Kwantowy dyskord dla dwóch kubitów / 166
4.2.1. Diagonalne stany Bella / 169
4.2.2. Kwantowy dyskord dla stanów X / 171
4.3. Geometryczny dysk ord / 174
4.3.1. Geometryczny dyskord dla dwóch kubitow / 176
4.3.2. Oszacowania geometrycznego dyskordu / 178
4.4. Dyskord oparty o entropię Tsallisa / 180
4.5. Dynamika kwantowego dyskordu / 187
4.5.1. Ewolucja układów otwartych a korelacje w stanie początkowym / 189

Jacek Jurkowski