WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski) / IX
PRZEDMOWA DO WYDANIA PIĄTEGO / XIII
Rozdział 1. LICZBY RZECZYWISTE / 1
§ 1. Oznaczenia logiczne / 1
§ 2. Zbiory. Odwzorowania zbiorów / 2
§ 3. Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych / 7
§ 4. Ciągi liczbowe / 13
§ 5. Granica ciągu liczbowego /14
§ 6. Warunek Cauchy’ego /21
§ 7. Granica górna i dolna / 23
§ 8. Szeregi liczbowe / 25
§ 9. Szeregi bezwzględnie zbieżne /30
§ 10. Szeregi o wyrazach dodatnich / 34
§ 11. Zadania / 36
Rozdział 2. PRZESTRZENIE METRYCZNE /43
§ 12. Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych / 43
§ 13. Podzbiory przestrzeni metrycznej / 47
§ 14. Ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej /54
§ 15. Odwzorowania ciągłe / 57
§ 16. Przykłady funkcji ciągłych /62
§ 17. Przestrzenie zupełne / 64
§ 18. Przestrzenie zwarte /69
§ 19. Przestrzenie spójne /73
§ 20. Zadania /75
Rozdział 3. CIAGI I SZEREGI FUNKCYJNE / 79
§ 21. Dalsze wiadomości o przestrzeniach zwartych / 79
§ 22. Przestrzeń funkcji ciągłych / 82
§ 23. Ciągi funkcyjne / 87
§ 24. Szeregi funkcyjne / 90
§ 25. Zadania / 93
Rozdział 4. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY. FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ /97
§ 26. Pochodna / 97
§ 27. Geometryczne podejście do pojęcia pochodnej / 108
§ 28. Interpretacje fizyczne pochodnej / 111
§ 29. Twierdzenia Lagrange’a i Cauchy’ego oraz ich zastosowania / 113
§ 30. Pochodne wyższych rzędów / 118
§ 31. Zastosowania fizyczne drugiej pochodnej / 121
§ 32. Twierdzenie Taylora / 123
§ 33. Zastosowania pochodnych wyższych rzędów / 126
§ 34. Szereg Taylora / 128
§ 35. Całka Riemanna / 129
§ 36. Całka jako funkcja górnej granicy całkowania / 138
§ 37. Technika wyznaczania całki nieoznaczonej / 141
§ 38. Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych: szeregi trygonometryczne i szeregi Fouriera /154
§ 39. Całka niewłaściwa; jej związek z szeregami liczbowymi / 163
§ 40. Zadania / 165
Rozdział 5. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO / 171
§ 41. Krzywe płaskie / 171
§ 42. Asymptoty; badanie przebiegu zmienności krzywych / 177
§ 43. Krzywizna krzywej / 178
§ 44. Przybliżone metody wyznaczania pierwiastków równań / 180
§ 45. Długość łuku / 183
§ 46. Obliczanie pól i objętości / 184
§ 47. Przykłady zastosowań całki oznaczonej w fizyce / 187
§ 48. Zadania / 190
Rozdział 6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W PRZESTRZENIACH BANACHA / 193
§ 49. Przestrzenie liniowe / 193
§ 50. Odwzorowania liniowe / 197
§ 51. Przestrzenie unormowane / 199
§ 52. Szeregi wektorów w przestrzeni unormowanej / 203
§ 53. Ciągłe odwzorowania liniowe / 204
§ 54*. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach liniowych / 211
§ 55. Ciągłe odwzorowania wieloliniowe / 216
§ 56. Różniczkowanie w przestrzeniach Banacha / 218
§ 57. Słaba pochodna / 221
§ 58. Twierdzenie o wartości średniej /225
§ 59. Przypadek, gdy E = Rn, E0 = Rm / 228
§ 60. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań / 233
§ 61. Pochodne wyższych rzędów / 240
§ 62. Wzór Taylora. Ekstrema lokalne / 247
§ 63. Zadania / 257
Rozdział 7. ELEMENTY TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH / 261
§ 64. Całkowanie odwzorowanń o wartościach w przestrzeni Banacha / 261
§ 65. Pojecie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego / 269
§ 66. Niektóre typy równań różniczkowych skalarnych / 273
§ 67. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy’ego / 278
§ 68. Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy’ego od warunków początkowych oraz od parametru / 283
§ 69. Rozwiązania przybliżone problemu Cauchy’ego / 287
§ 70. Twierdzenie Peano / 291
§ 71. Charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy’ego / 294
§ 72. Równanie liniowe / 299
§ 73. Układy równań różniczkowych; równania wyższych rzędów / 309
§ 74*. Układy dynamiczne / 313
§ 75*. Dowody twierdzeń Lasoty–Yorke’a oraz Schaudera o punkcie stałym / 320
§ 76. Zadania / 324
Rozdział 8. TEORIA MIARY I CAŁKI LEBESGUE’A. / 329
§ 77. Miara abstrakcyjna / 329
§ 78. Generator miary / 334
§ 79. Funkcje mierzalne / 339
§ 80. Miara Lebesgue’a / 345
§ 81. Całka względem miary / 352
§ 82. Całka Lebesgue’a; porównanie z całka Riemanna / 366
§ 83. Twierdzenie Fubiniego / 371
§ 84. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a / 383
§ 85*. Całka Lebesgue’a–Stieltjesa / 389
§ 86*. Przestrzenie funkcji całkowalnych / 392
§ 87. Zadania / 394
Rozdział 9. FORMY RÓŻNICZKOWE / 399
§ 88. Przestrzeń tensorów / 399
§ 89. Iloczyn zewnętrzny / 406
§ 90. Pola wektorowe / 409
§ 91. Formy różniczkowe / 412
§ 92. Lemat Poincar´e / 418
§ 93. Całkowanie from różniczkowych po łańcuchach / 421
§ 94. Rozmaitosci zanurzone w Rn / 429
§ 95. Pola wektorowe na rozmaitościach (wzmianka o równaniach różniczkowych zwyczajnych na rozmaitościach) / 439
§ 96. Formy różniczkowe na rozmaitościach / 443
§ 97. Całkowanie form różniczkowych na rozmaitościach / 448
§ 98. Element objętości na rozmaitości; konsekwencje twierdzenia Stokesa / 454
§ 99. Ekstrema funkcji określonych na rozmaitościach / 460
§ 100*. Ogólne pojęcie rozmaitości / 462
§ 101*. Twierdzenie Frobeniusa / 473
§ 102. Zadania / 475
Rozdział 10. FUNKCJE HOLOMORFICZNE / 479
§ 103. Wiadomości wstępne / 479
§ 104. Różniczkowalność w sensie zespolonym / 485
§ 105. Przykłady funkcji holomorficznych / 490
§ 106. Całka funkcji zmiennej zespolonej / 493
§ 107. Wzór całkowy Cauchy’ego / 503
§ 108. Szeregi Laurenta; osobliwe punkty izolowane / 512
§ 109. Residua / 522
§ 110. Przekształcenie Laplace’a i jego zastosowanie do równań różniczkowych / 531
§ 111*. Informacje o równaniach różniczkowych w dziedzinie zespolonej / 544
§ 112. Zadania / 549
Rozdział 11. WSTĘPNE POJĘCIA TEORII DYSTRYBUCJI / 553
§ 113. Przestrzenie liniowo-topologiczne / 553
§ 114. Podstawowe klasy funkcji / 557
§ 115. Dystrybucje i ich pochodne / 561
§ 116. Dystrybucje temperowane /569
§ 117. Przekształcenie Fouriera na S i S0 / 572
§ 118. Zadania / 574
Rozdział 12. ELEMENTY TEORII PRZESTRZENI HILBERTA / 577
§ 119. Pojecie przestrzeni Hilberta /577
§ 120. Twierdzenie o rzucie prostopadłym / 582
§ 121. Funkcjonały liniowe w przestrzeniach Hilberta / 587
§ 122. Odwzorowania liniowe przestrzeni Hilberta / 590
§ 123. Analiza widmowa operatorów samosprzężonych / 596
§ 124. Zadania / 602
Dodatek 1. ELEMENTY TOPOLOGII OGÓLNEJ / 603
§ A. Przestrzenie topologiczne / 603
§ B. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych / 608
§ C. Aksjomaty oddzielania / 60
§ D. Przestrzenie zwarte i lokalnie zwarte / 612
§ E. Przestrzenie parazwarte / 615
§ F. Twierdzenia o zanurzaniu przestrzeni metrycznych oraz o przedłużaniu odwzorowań ciągłych / 617
Dodatek 2. ALGEBRY BANACHA / 621
§ A. Podstawowe pojęcia i przykłady / 621
§ B. Widmo elementu w algebrze / 623
§ C. Charaktery algebr Banacha / 626
Dodatek 3. CAŁKOWANIE W PRZESTRZENIACH HILBERTA /629
§ A. Miara spektralna; twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych / 629
§ B. Konstrukcja miary w przestrzeniach Hilberta za pomocą funkcjonału charakterystycznego / 634
LITERATURA / 639
SKOROWIDZ NAZW / 643
