Analiza matematyczna dla fizyków

W roku 1971 ukazał się podręcznik Krzysztofa Maurina Analiza, cz. 1, wydany przez Państwowe Wydawnictwo Naukowe w  Warszawie. Podręcznik ten zawierał nowoczesny wykład analizy matematycznej, jednakże zdaniem studentów oraz wykładowców był zbyt  trudny, w szczególności dla studentów pierwszego roku matematyki, fizyki czy też nauk technicznych, którym, między innymi, był on dedykowany. Wydaje się, że w związku z tym w roku 1975 Profesor Roman Stanisław Ingarden zaproponował napisanie podręcznika wzorowanego w zakresie tematyki oraz nowoczesności wykładu na książce K. Maurina, ale w pełni przystępnego dla studentów matematyki, fizyki i nauk technicznych. W efekcie tej propozycji w roku 1981 ukazał się pierwszy tom podręcznika L. Górniewicza i R. S. Ingardena Analiza matematyczna dla fizyków, a w roku 1983 tom drugi - obydwa wydane przez Państwowe Wydawnictwo Naukowe w Warszawie. W związku z brakiem finansowania w roku 1992 Państwowe Wydawnictwo Naukowe odstąpiło swe prawa wydawnicze Wydawnictwu Naukowemu Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu. Drugie wydanie ukazało się w roku 1994, trzecie w roku 2000, a ostatnie, czwarte wydanie, w roku 2004. Niniejsze, piąte wydanie, nie zawiera nowych koncepcji merytorycznych i dydaktycznych, dokonane zostały jedynie korekty zauważonych w wydaniu czwartym usterek technicznych oraz pewne niezbędne uzupełnienia. Wydanie to ma jednak wyjątkowy charakter. Pragnę je w całości zadedykować Panu Profesorowi Romanowi Stanisławowi Ingardenowi jako wyraz pamięci oraz głębokiego szacunku zarówno naukowego, jak i osobistego.

Lech Górniewicz
Toruń, marzec 2012

WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)  / IX
PRZEDMOWA DO WYDANIA PIĄTEGO / XIII

Rozdział 1. LICZBY RZECZYWISTE  /  1
§ 1. Oznaczenia logiczne /  1
§ 2. Zbiory. Odwzorowania zbiorów /  2
§ 3. Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych /  7
§ 4. Ciągi liczbowe  /  13
§ 5. Granica ciągu liczbowego /14
§ 6. Warunek Cauchy’ego  /21
§ 7. Granica górna i dolna  /  23
§ 8. Szeregi liczbowe / 25
§ 9. Szeregi bezwzględnie zbieżne  /30
§ 10. Szeregi o wyrazach dodatnich   /  34
§ 11. Zadania /  36

Rozdział 2. PRZESTRZENIE METRYCZNE /43
§ 12. Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych  /  43
§ 13. Podzbiory przestrzeni metrycznej /  47
§ 14. Ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej  /54
§ 15. Odwzorowania ciągłe  /  57
§ 16. Przykłady funkcji ciągłych  /62
§ 17. Przestrzenie zupełne  /  64
§ 18. Przestrzenie zwarte  /69
§ 19. Przestrzenie spójne  /73
§ 20. Zadania /75

Rozdział 3. CIAGI I SZEREGI FUNKCYJNE / 79
§ 21. Dalsze wiadomości o przestrzeniach zwartych  /  79
§ 22. Przestrzeń funkcji ciągłych  /  82
§ 23. Ciągi funkcyjne  /  87
§ 24. Szeregi funkcyjne  /  90
§ 25. Zadania  /  93

Rozdział 4. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY. FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ /97
§ 26. Pochodna  /  97
§ 27. Geometryczne podejście do pojęcia pochodnej  /  108
§ 28. Interpretacje fizyczne pochodnej  / 111
§ 29. Twierdzenia Lagrange’a i Cauchy’ego oraz ich zastosowania  /  113
§ 30. Pochodne wyższych rzędów  /  118
§ 31. Zastosowania fizyczne drugiej pochodnej  /  121
§ 32. Twierdzenie Taylora  /  123
§ 33. Zastosowania pochodnych wyższych rzędów   / 126
§ 34. Szereg Taylora  / 128
§ 35. Całka Riemanna  / 129
§ 36. Całka jako funkcja górnej granicy całkowania   / 138
§ 37. Technika wyznaczania całki nieoznaczonej  / 141
§ 38. Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych: szeregi trygonometryczne i szeregi Fouriera  /154
§ 39. Całka niewłaściwa; jej związek z szeregami liczbowymi  / 163
§ 40. Zadania  /  165

Rozdział 5. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO  / 171
§ 41. Krzywe płaskie  /  171
§ 42. Asymptoty; badanie przebiegu zmienności krzywych  / 177
§ 43. Krzywizna krzywej  / 178
§ 44. Przybliżone metody wyznaczania pierwiastków równań  /  180
§ 45. Długość łuku  /  183
§ 46. Obliczanie pól i objętości   / 184
§ 47. Przykłady zastosowań całki oznaczonej w fizyce   / 187
§ 48. Zadania  /  190

Rozdział 6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W PRZESTRZENIACH BANACHA  / 193
§ 49. Przestrzenie liniowe /  193
§ 50. Odwzorowania liniowe  / 197
§ 51. Przestrzenie unormowane   /  199
§ 52. Szeregi wektorów w przestrzeni unormowanej  /  203
§ 53. Ciągłe odwzorowania liniowe /  204
§ 54*. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach liniowych  /  211
§ 55. Ciągłe odwzorowania wieloliniowe / 216
§ 56. Różniczkowanie w przestrzeniach Banacha  /  218
§ 57. Słaba pochodna   /  221
§ 58. Twierdzenie o wartości średniej  /225
§ 59. Przypadek, gdy E = Rn, E0 = Rm  /  228
§ 60. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań  / 233
§ 61. Pochodne wyższych rzędów  /  240
§ 62. Wzór Taylora. Ekstrema lokalne  /  247
§ 63. Zadania  /  257

Rozdział 7. ELEMENTY TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH  / 261
§ 64. Całkowanie odwzorowanń o wartościach w przestrzeni Banacha  /  261
§ 65. Pojecie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego /  269
§ 66. Niektóre typy równań różniczkowych skalarnych   /  273
§ 67. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy’ego  /  278
§ 68. Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy’ego od warunków początkowych oraz od parametru  /  283
§ 69. Rozwiązania przybliżone problemu Cauchy’ego  / 287
§ 70. Twierdzenie Peano   /  291
§ 71. Charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy’ego  /  294
§ 72. Równanie liniowe  / 299
§ 73. Układy równań różniczkowych; równania wyższych rzędów  /  309
§ 74*. Układy dynamiczne   / 313
§ 75*. Dowody twierdzeń Lasoty–Yorke’a oraz Schaudera o punkcie stałym   /  320
§ 76. Zadania  /  324

Rozdział 8. TEORIA MIARY I CAŁKI LEBESGUE’A. /  329
§ 77. Miara abstrakcyjna  /  329
§ 78. Generator miary   /  334
§ 79. Funkcje mierzalne  /  339
§ 80. Miara Lebesgue’a   /  345
§ 81. Całka względem miary   /  352
§ 82. Całka Lebesgue’a; porównanie z całka Riemanna  /  366
§ 83. Twierdzenie Fubiniego  /  371
§ 84. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a   /  383
§ 85*. Całka Lebesgue’a–Stieltjesa  /  389
§ 86*. Przestrzenie funkcji całkowalnych  /  392
§ 87. Zadania  /  394

Rozdział 9. FORMY RÓŻNICZKOWE  /  399
§ 88. Przestrzeń tensorów  /  399
§ 89. Iloczyn zewnętrzny  /  406
§ 90. Pola wektorowe   / 409
§ 91. Formy różniczkowe  /  412
§ 92. Lemat Poincar´e   / 418
§ 93. Całkowanie from różniczkowych po łańcuchach  /  421
§ 94. Rozmaitosci zanurzone w Rn  /  429
§ 95. Pola wektorowe na rozmaitościach (wzmianka o równaniach różniczkowych zwyczajnych na rozmaitościach)   /  439
§ 96. Formy różniczkowe na rozmaitościach  /  443
§ 97. Całkowanie form różniczkowych na rozmaitościach  /  448
§ 98. Element objętości na rozmaitości; konsekwencje twierdzenia Stokesa   / 454
§ 99. Ekstrema funkcji określonych na rozmaitościach   /  460
§ 100*. Ogólne pojęcie rozmaitości  /  462
§ 101*. Twierdzenie Frobeniusa  / 473
§ 102. Zadania   /  475

Rozdział 10. FUNKCJE HOLOMORFICZNE  /  479
§ 103. Wiadomości wstępne  /  479
§ 104. Różniczkowalność w sensie zespolonym  / 485
§ 105. Przykłady funkcji holomorficznych  /  490
§ 106. Całka funkcji zmiennej zespolonej  /  493
§ 107. Wzór całkowy Cauchy’ego  /  503
§ 108. Szeregi Laurenta; osobliwe punkty izolowane  /  512
§ 109. Residua  /  522
§ 110. Przekształcenie Laplace’a i jego zastosowanie do równań różniczkowych  /  531
§ 111*. Informacje o równaniach różniczkowych w dziedzinie zespolonej  /  544
§ 112. Zadania  /  549

Rozdział 11. WSTĘPNE POJĘCIA TEORII DYSTRYBUCJI  /  553
§ 113. Przestrzenie liniowo-topologiczne / 553
§ 114. Podstawowe klasy funkcji   /  557
§ 115. Dystrybucje i ich pochodne  /  561
§ 116. Dystrybucje temperowane  /569
§ 117. Przekształcenie Fouriera na S i S0 /  572
§ 118. Zadania /  574

Rozdział 12. ELEMENTY TEORII PRZESTRZENI HILBERTA /  577
§ 119. Pojecie przestrzeni Hilberta /577
§ 120. Twierdzenie o rzucie prostopadłym  / 582
§ 121. Funkcjonały liniowe w przestrzeniach Hilberta / 587
§ 122. Odwzorowania liniowe przestrzeni Hilberta /  590
§ 123. Analiza widmowa operatorów samosprzężonych  /  596
§ 124. Zadania /  602

Dodatek 1. ELEMENTY TOPOLOGII OGÓLNEJ  /  603
§ A. Przestrzenie topologiczne /  603
§ B. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych / 608
§ C. Aksjomaty oddzielania / 60
§ D. Przestrzenie zwarte i lokalnie zwarte / 612
§ E. Przestrzenie parazwarte  / 615
§ F. Twierdzenia o zanurzaniu przestrzeni metrycznych oraz o przedłużaniu odwzorowań ciągłych  /  617
Dodatek 2. ALGEBRY BANACHA / 621
§ A. Podstawowe pojęcia i przykłady /  621
§ B. Widmo elementu w algebrze / 623
§ C. Charaktery algebr Banacha  / 626
Dodatek 3. CAŁKOWANIE W PRZESTRZENIACH HILBERTA /629
§ A. Miara spektralna; twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych  / 629
§ B. Konstrukcja miary w przestrzeniach Hilberta za pomocą funkcjonału charakterystycznego /  634
LITERATURA  / 639
SKOROWIDZ NAZW / 643

Lech Górniewicz

Roman Stanisław Ingarden