Wykład analizy matematycznej, cz. 1: Funkcje jednej zmiennej

Książka ta stanowi podręcznik analizy matematycznej ̶  fundamentalnego działu matematyki. Wykład jest adresowany do studentów pierwszych lat uniwersyteckich  i politechnicznych studiów matematycznych, a także do wszystkich Czytelników zainteresowanych matematyką.

Niniejsza, pierwsza część wykładu dotyczy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej, czyli materiału stanowiącego przedmiot pierwszych lat studiów. W kolejnej, planowanej części zostanie omówiona analiza funkcji wielu zmiennych,elementy analizy funkcjonalnej i teorii rozmaitości. Układ i dobór treści jest tradycyjny, choć wykład zawiera  także materiał wykraczający nieco poza standardowy program wykładu analizy matematycznej.

Wstęp
Preliminaria
Wskazówki dla Czytelnika

1 Liczby rzeczywiste
1.1Liczby naturalne, całkowite i wymierne
1.1.A Dlaczego liczby wymierne nie są dostatecznie dobre?
1.2Zbiór liczb rzeczywistych
1.2.A Definicja aksjomatyczna liczb rzeczywistych
1.2.B Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządku
1.2.C Konsekwencje aksjomatu ciągłości
1.3Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych
1.3.A Liczby naturalne
1.3.B Liczby całkowite
1.3.C Liczby wymierne i niewymierne
1.3.D Przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów
1.3.E Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

2 Funkcje rzeczywiste
2.1Przegląd funkcji elementarnych
2.1.A Potęga o wykładniku rzeczywistym
2.1.B Funkcje potęgowe, wykładnicze i wielomiany
2.1.C Logarytmy i funkcje logarytmiczne
2.1.D Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
2.1.E Funkcje elementarne
2.2 Kilka elementarnych nier6wności
2.3 Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych

3 Teoria ciągów liczbowych
3.1 Granica ciągu
3.2 Właściwości ciągów zbieżnych i kryteria zbieżności
3.2.A Przejścia graniczne
3.2.B Kryteria zbieżności
3.3Działania na ciągach zbieżnych
3.4Liczba Eulera e, logarytmy naturalne
3.5 Granice niewłaściwe ciągów
3.6 Granice częściowe i ekstremalne ciągów

4 Uzupełnienia
4.1Terminologia topologiczna
4.1.A Zbiory zwarte i spójne
4.2 Uwagi na temat ciągłości zbioru liczb rzeczywistych
4.2.A Problem aproksymacji
4.3 Konstrukcje zbioru liczb rzeczywistych
4.3.A Konstrukcja Dedekinda
4.3.B Konstrukcja Cantora
4.3.C Jednoznaczność zbioru liczb rzeczywistych

5 Granica i ciągłość funkcji
5.1 Granica funkcji w punkcie
5.2 Warunki dostateczne istnienia granic
5.2.A Notacja Landaua
5.3 Ciągłość funkcji
5.4 Kombinacje funkcji ciągłych
5.5 Własności funkcji ciągłych
5.6 Jednostajna ciągłość funkcji
5.7 Punkty nieciągłości funkcji
5.8 Granice ekstremalne funkcji i półciągłość
 
6 Różniczkowalność funkcji
6.1 Pochodna funkcji
6.2 Interpretacja pochodnej i rózniczkowalności
6.3 Różniczka funkcji
6.4 Metody obliczania pochodnych funkcji
6.5 Pochodne jednostronne i niewłaściwe
6.6 Pochodne wyższych rzędów
 
7 Badanie funkcji i ich pochodnych
7.1 Twierdzenie Lagrange'a
7.2 Wzór Taylora
7.3 Warunki istnienia ekstremów
7.4 Wypukłość funkcji
7.4.A Punkty przegięcia funkcji i asymptoty
7.5 Badanie funkcji
7.6 Elementy teorii interpolacji
7.7 Przybliżone rozwiązywanie równań
 
8 Teoria szeregów liczbowych
8.1 Szeregi i ich zbieżność
8.2 Kryteria zbieżności bezwzględnej
8.3 Szeregi o wyrazach dowolnego znaku
8.3.A Grupowani ewyrazów
8.3.B Przemienność
8.4 Iloczyn Cauchy'ego szeregów
8.5 Szeregi iterowane i podwójne
8.6 Iloczyny nieskończone
 
9 Teoria całki Riemanna
9.1 Definicja całki Riemanna
9.2 Własności całki Riemanna
9.3 Podstawowe klasy funkcji całkowalnych
9.3.A Metody przybliżone obliczania całek
9.4 Własności funkcji górnej granicy całkowania
9.5 Inne metody obliczania całki Riemanna
9.6 Metody poszukiwania funkcji pierwotnej
9.6.A Całkowanie funkcji wymiernych
9.6.B Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
9.6.C Podstawienia Eulera
9.6.D Metoda Ostrogradskiego
9.6.E Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne
9.7 Całka Riemanna  ̶  Stieltjesa
9.7.A Funkcje o wahaniu skończonym
9.7.B Całka Riemanna  ̶  Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym
9.8 Całka Kurzweila  ̶  Henstocka
 
10 Całka niewłaściwa
10.1 Całka niewłaściwa I rodzaju
10.2 Całka niewłaściwa II rodzaju
10.3 Uzupełnienia
 
11 Różne zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego
11.1 Różne zastosowania
11.1.A Liczby algebraiczne i przestępne
11.2 Krzywe i figury w Rʺ
11.2.A Różniczkowalność i całkowalność funkcji wektorowych zmiennej rzeczywistej
11.2.B Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji wektorowej
11.2.C Pole powierzchni figur płaskich
11.2.D Objętość i pole powierzchni figur obrotowych
11.3 Interpretacja i zastosowania fizyczne
 
12 Ciągi i szeregi funkcyjne
12.1Zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych
12.2 Własności zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych
12.3 Kryteria zbieżności jednostajnej
12 4 Własności funkcji granicznych ciągów i szeregów zbieżnych jednostajnie
12.5 Szeregi potęgowe i ich własności
12.6 Własności sumy szeregu potęgowego
12.7 Szeregi Taylora
12.7.A Funkcje trygonometryczne
12.8 Uzupełnienia
12.8.A Funkcja ciągła i nigdzie nieróżniczkowalna
12.8.B Zbieżność jednostajna całek niewłaściwych
12.8.C Przejścia graniczne w całce Riemanna  ̶  Stieltjesa
12.8.D Struktura funkcji monotonicznych
12.8.E Zwartość w przestrzeniach funkcyjnych,rodziny funkcji ciągłych
12.8.F Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa
12.8.G Aproksymacja funkcji półciągłych
 
Skorowidz
Bibliografia

Wojciech Kryszewski