Różne oblicza matematyki. Matematyka z historycznego, ontogenetycznego i filozoficznego punktu widzenia

Matematyka jest jedna, ale ogromnie różnorodna. Ta główna teza książki przedstawiona jest na tle ogólnego rozwoju kultury. Prawie połowa tekstu dotyczy dziejów arytmetyki (z początkami algebry) i geometrii, od najdawniejszych czasów po koniec XIX wieku. Narracja historyczna jest zestawiana z ontogenezą, z kształtowaniem się struktur matematyki u pojedynczych ludzi (zaczynającym się w okresie niemowlęctwa). W tle stale ujawniają się kwestie filozoficzne, w tymplatonistyczna tendencyjność: przekonanie matematyków o odwieczności i niezmienności matematyki wpływa na przypisywanie dawnym uczonym współczesnych pojęć i rozumowań. Oparcie matematyki XX wieku na pojęciach typu „zbiór”, „element” gruntownie zmieniło język twierdzeń i dowodów, a zarazem całe myślenie matematyczne. Stało się to tak naturalne, że nie można się z tego wyzwolić. Nie da się już w pełni wniknąć w dawne ujmowanie matematyki; im dalej wstecz, tym jest to trudniejsze. Wiele ze stale powtarzanych opowieści to późniejsze legendy; niektóre są tu krytycznie omówione. Mottem książki, zaczerpniętym z Platona, jest zdziwienie, niedowierzanie naszych przodków, gdy odkrywali niespodziewane, paradoksalne związki. Szczególnie ważne były przełomy pojęciowe, przejścia na wyższy poziom abstrakcji, wcześniej nieosiągalny. Zmagania z piątym postulatem Euklidesa trwały dwa tysiące lat, a kontrowersje wywołane geometrią nieeuklidesową zmieniły świadomość tego, czym jest geometria i jaki jest jej związek ze światem rzeczywistym.

Od czasów greckich matematyka jest też głęboko powiązana z muzyką. Dedukcyjny rachunek prawdopodobieństwa dziwnie trafnie, paradoksalnie sprawdza się przy stosowaniu go do przypadkowości. Fascynujące tajemnice nieskończoności zostały w znacznym stopniu oswojone w XIX i XX wieku.

Wstęp / 11

0.1. Cel i adresat książki / 15
0.2. Matematyka czysta, matematyka stosowana / 17
0.3. Kwestia paralelizmu filogeneza–ontogeneza w matematyce / 20
0.4. Interpretowanie dawnej wiedzy matematycznej / 25
0.5. Matematyka a humanistyka / 32
0.6. Struktura i zakres książki / 35
0.7. Wykorzystane publikacje / 37

Część 1
Filogeneza. Przełomy pojęciowe w rozwoju historycznym matematyki

Rozdział 1. Rozwój arytmetyki i początki algebry / 43
1.1. Narodziny liczenia / 43
1.2. Historyczny rozwój przedstawiania liczb naturalnych / 47
1.3. Matematyka egipska i babilońska / 56
1.4. Źródła wiedzy o matematyce greckiej / 62
1.5. Arytmetyka pitagorejska / 65
1.6. Odkrycie niewspółmierności / 76
1.7. Eudoksos i jego teoria stosunków / 92
1.8. Osiągnięcia hellenistycznej arytmetyki / 97
1.9. Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: ułamki / 106
1.10. Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: zero / 112
1.11. Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: liczby ujemne i symbolika arytmetyczna / 116
1.12. Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: liczby rzeczywiste / 125
1.13. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych / 135
1.14. Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: liczby urojone i liczby zespolone / 141
1.15. Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: kwaterniony i nieprzemienność / 145
1.16. Początki algebry / 147
1.17. Zasada indukcji zupełnej w teorii liczb naturalnych / 150
1.18. Hierarchia struktur arytmetyki / 154
1.19. Deduktywistyczny styl prezentacji matematyki / 162
Rozdział 2. Geometria i dedukcja / 165
2.1. Początki geometrii: kształty, figury, bryły, ornamenty, praktyka miernicza / 165
2.2. Geneza i rozwój abstrakcyjnego pojęcia przestrzeni / 169
2.3. Cud grecki: przejście od intuicyjnej wiedzy geometrycznej do systemu aksjomatycznego / 173
2.4. Wpływ Platona na rozwój geometrii / 180
2.5. Spór grecki o matematykę czystą (Platon) i stosowaną (Archytas) / 195
2.6. Wpływ Arystotelesa na rozwój matematyki / 199
2.7. Elementy Euklidesa / 203
2.8. Rola diagramów w geometrycznych rozumowaniach Greków / 222
2.9. Spuścizna Archimedesa w geometrii / 227
2.10. Historia piątego postulatu Euklidesa / 230
2.11. Układ współrzędnych i kartezjański przewrót w geometrii / 245
2.12. Odkrycie geometrii nieeuklidesowej / 252
2.13. Wpływ Immanuela Kanta na rozwój geometrii / 270
2.14. Empiryczne aspekty geometrii nieeuklidesowej / 283
2.15. Powstanie geometrii rzutowej / 288
2.16. Koncepcyjne podejście Bernharda Riemanna do geometrii / 292
2.17. Przełom w rozwoju geometrii nieeuklidesowej / 295
2.18. Orientacja prostej, płaszczyzny i przestrzeni / 300
2.19. Wyjście poza trzy wymiary w geometrii / 304
2.20. Zmiana standardu ścisłości aksjomatyki geometrii / 310
2.21. Narodziny topologii / 330

Część 2
Ontogeneza. Rozwój matematyczny dziecka

Rozdział 3. Rozwój pojęć związanych z arytmetyką i początki algebry / 345
3.1. Początki liczenia u dziecka / 346
3.2. Pojęciowy i rachunkowy rozwój działań arytmetycznych u dzieci / 361
3.3. Przejście od arytmetyki do algebry / 370
Rozdział 4. Rozwój pojęć związanych z geometrią i przestrzenią / 377
4.1. Konstruowanie przestrzeni w umyśle dziecka / 378
4.2. Poziomy myślenia geometrycznego u dzieci wyróżnione przez van Hielów / 384
4.3. Poziomy myślenia geometrycznego wyróżnione przez Milana Hejnego / 388

Część 3
Uzupełnienia

Rozdział 5. Dalsze oblicza matematyki / 395
5.1. Długie wieki zmagań z problemami nieskończoności / 396
5.2. Problemy rachunku prawdopodobieństwa / 409
5.3. Matematyka a muzyka / 433
5.4. Matematyka w architekturze i sztuce / 445
5.5. Bieguny napięć intelektualnych w matematyce / 453
5.6. Rola intuicji w rozumowaniach matematycznych / 455
5.7. Transgresje poznawcze / 458
5.8. Strukturalistyczne aspekty matematyki / 462
5.9. Główne kierunki filozofii matematyki XX wieku / 468
5.10. Reformy edukacyjne w duchu Mathématique Moderne / 491
Rozdział 6. Dodatki matematyczne / 495
6.1. Pięć najważniejszych twierdzeń matematyki / 495
6.2. Pięć odkryć matematycznych, które wzbudziły największe zdziwienie / 502
6.3. Liczby zespolone / 512
6.4. Pojęcie grupy i program erlangeński Feliksa Kleina / 517
Zakończenie. Matematyka jest jedna / 519
Bibliografia / 527
Summary
Indeks osób

Zbigniew Semadeni