O pojęciu dowodu w matematyce

Książka jest poświęcona analizie statusu dowodów matematycznych. Na proces dowodzenia w matematyce można patrzeć jako na pewnego typu argumentację, która jest ujęta w precyzyjnie skodyfikowane reguły. Jednak standardy dowodowe ewoluują, nieuchronnie pojawiają się też w nich elementy uznaniowe - przyjęcie pewnych reguł jako powszechnie akceptowanych odbywa się bowiem na etapie preteoretycznym. Co więcej, dowody matematyczne znane z praktyki odległe są od wersji sformalizowanej. Ta rozbieżność prowadzi do ciekawych problemów filozoficznych. W książce analizowane są: (1) problem relacji między realnymi, znanymi z praktyki dowodami matematycznymi a dowodami traktowanymi jako formalne ciągi symboli (będącymi przedmiotem zainteresowania teorii dowodu), (2) problem rozumienia w matematyce i zagadnienie eksplanacyjnej roli dowodów matematycznych, (3) kwestia empirycznych elementów w dowodach matematycznych i empirycznego zapośredniczenia wiedzy matematycznej.

Wyróżnienie w Konkursie na Najlepszą Książkę Akademicką i Naukową ACADEMIA (2012)

Wstęp / 7

Rozdział 1. Dwie wizje dowodu. Uwagi historyczne / 13
1. Kartezjusz - intuicja jako źródło wiedzy / 16
2. „Lingwistyczny instrumentalizm" Berkeleya / 20
3. Peacock i Pasch - algebra i geometria z punktu widzenia formalizmu / 26
4. Grundlagen der Geometrie Hilberta / 32
5. Hilbert a Frege / 35
6. Program Hilberta / 39
7. Uwagi końcowe / 46

Rozdział 2. Antyfundacjonalizm Lakatosa / 53
1. Nurt formalistyczny a żywa matematyka / 55
2. Zdania bazowe i falsyfikatory heurystyczne / 62
3. Mechanizmy rozwoju matematyki / 76
4. Uwagi końcowe / 80

Rozdział 3. Dowody komputerowe / 83
1. Dowód realny a dowód idealny - problem formalizacji / 85
2. Koncepcja Azzouniego - prezentacja / 90
3. Koncepcja Azzouniego - dyskusja / 93
3.1. Czym jest system algorytmiczny „w tle"? / 94
3.2. Poznawcza dostępność dowodów / 98
3.3. Problem wyjaśniania / 103
3.4. Konsekwencja semantyczna a syntaktyczna / 104
4. Problem mechanizacji dowodów / 107
5. Twierdzenie o czterech barwach - przykład kanoniczny / 111
5.1. Komputerowy dowód 4CT - możliwe reakcje / 113
5.2. Pierwsze komentarze filozoficzne / 115
6. Dowody formalne a praktyka matematyczna / 117
6.1. Dowód realny versus idealny. Wyjaśnianie w matematyce / 119
7. Uwagi końcowe / 133

Rozdział 4. Teoria obliczeń kwantowych / 135
1. Praktyczne ograniczenia w obliczeniach / 136
2. Obliczenia w świecie kwantów / 139
2.1. Przykłady bramek kwantowych / 144
3. Kwantowa wiedza matematyczna? / 147
3.1. Problem czynnika empirycznego / 152
3.2. Problem siły eksplanacyjnej dowodów kwantowych / 155

Rozdział 5. Hiperobliczenia a status dowodów matematycznych / 157
1. Uwagi wstępne / 158
2. Zagadnienie algorytmiczności przetwarzania informacji / 161
3. Nie które teoretyczne modele hiperobliczeń / 165
4. Problem sens fizycznego modeli hiperobliczeniowych / 168
5. Przykład modelu fizycznego - relatywistyczna maszyna Turinga / 173
6. RTM w służbie matematyki / 177
7. Status hiperobliczeniowej argumentacji / 180
8. Stanowisko Quine'a / 186
9. Problem mechanizmów poznawczych / 192
9.1. Czy tworzenie matematyki ma z natury charakter algorytmiczny? / 192
9.2. Czy modele hiperobliczeniowe są realistyczne? / 199
9.3. Hiperobliczenia a teza Churcha-Turinga / 202
10. Podsumowanie / 205
Podsumowanie / 207
Dodatek. Uwagi i wyjaśnienia dotyczące obliczeń kwantowych / 211
Bibliografia / 217

Wykaz używanych skrótów i symboli / 235
Summary. The notion of mathematical proof / 237
Indeks nazwisk / 241
Indeks rzeczowy / 247

Krzysztof Wójtowicz